Разлика између Повер Сериес и Таилор Сериес

2023 Аутор: Mildred Bawerman | [email protected]. Последња измена: 2023-07-30 19:51

Повер Сериес вс Таилор Сериес

У математици је стварни низ уређена листа реалних бројева. Формално, то је функција од скупа природних бројева до скупа реалних бројева. Ако је а _н н- ^ти члан низа, секвенцу означавамо са или са ₁, а ₂,…, а _н, …. На пример, размотрите низ 1, ½, ⅓,…, ¹ / _н, … Може се означити као {1 / н}.

Серију је могуће дефинисати помоћу секвенци. Низ је збир термина низа. Према томе, за сваку секвенцу постоји придружена секвенца и обрнуто. Ако је {а _н} секвенца која се разматра, тада се низ формиран том секвенцом може представити као:

Тако, у горњем примеру, придружени серија 1+ ¹ / ₂ + ¹ / ₃ + … + ¹ / _н + ….

Као што имена сугеришу, ред снаге је посебна врста серија и широко се користи у нумеричкој анализи и сродном математичком моделирању. Таилор серија је посебна серија напајања која пружа алтернативни и лак за управљање начин представљања добро познатих функција.

Шта су Повер серије?

Серија потенција је серија облика

што је конвергентно (могуће) за неки интервал усредсређен на ц. Коефицијенти а _н могу бити стварни или сложени бројеви и независни су од к; тј. думми променљива.

На пример, постављањем _н = 1 за сваки н и ц = 0, добија се ред снаге 1 + к + к ² +….. + к ^н +…. Лако је уочити да када је к ε (-1,1), ова серија снага конвергира у 1 / (1-к).

Низ снаге конвергира када је к = ц. Остале вредности к за које се степени низа конвергирају увек ће имати облик отвореног интервала усредсређеног на ц. Односно, постојаће вредност 0≤ Р ≤ ∞ таква да је за сваки к који задовољава | кц | ≤ Р, енергетски низ конвергентан и за сваки к који задовољава | кц |> Р, ред снаге је дивергентни. Ова вредност Р назива се полупречник конвергенције низа снаге (Р може узети било коју стварну вредност или позитивну бесконачност).

Низови снаге могу се сабирати, одузимати, множити и делити користећи следећа правила. Размотримо две енергетске серије:

Онда,

тј. слични појмови се сабирају или одузимају заједно. Такође, могуће је помножити и поделити две серије потенцијала користећи идентитет,

Шта је Таилор серија?

Тејлорова серија је дефинисана за функцију ф (к) која се бесконачно диференцира на интервалу. Претпоставимо да је ф (к) диференцијабилно на интервалу центрираном у ц. Затим степен снаге који је дат са

назива се проширење Тејлорове серије функције ф (к) око ц. (Овде ф ^(н) (ц) означава н- ^ти извод у к = ц). У нумеричкој анализи, коначан број чланова у овом бесконачном проширењу користи се за израчунавање вредности у тачкама у којима је низ конвергентан у оригиналну функцију.

Каже се да је функција ф (к) аналитичка у интервалу (а, б), ако се за сваки к ε (а, б), Таилорова серија ф (к) конвергира у функцију ф (к). На пример, 1 / (1-к) је аналитички на (-1,1), јер његово Таилорово проширење 1 + к + к ² +….. + к ^н +… конвергира у функцију на том интервалу, а е ^к је свуда аналитичан, јер се Тејлорова серија е ^к конвергира у е ^к за сваки стварни број к.